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        如何求等阻尼線與根軌跡的交點 已知傳遞函數

        時間:2017-01-22 20:45    點擊量:

        事實上,在根軌跡平面中,等阻尼線是一條發自原點的射線,其與-180°的交角為阻尼角β

        而阻尼比kexi=cosβ 

        如果題目是二階系統,有那種根軌跡是圓的,求阻尼比可以用數學運算的方法,但此題給出的根軌跡,是三條無窮遠線,一條從-5到負無窮,另兩條起始于0和-1,相交在區間內一點后往正負60°方向發散.此題無法給出確切的根軌跡的方程,因此只能從研究代數方程的角度入手 

        首先,相交點一定同時處于等阻尼線和根軌跡上.設第二象限的交點坐標為s=-x+yi   (x,y>0)

        則必有x/√(x^2+y^2)=0.3化簡得91x^2=9y^2即y=3.180x 

        系統的閉環特征方程為s(s+1)(s+5)+K=0,該點為根軌跡上的點,必然使閉環特征方程為0

        s=yi-x=3.180xi-x=x(-1+3.180i),代入s^3+6s^2+5s+K=0,即得:

        x^3*(29.3372-22.6174i)+6*x^2*(-9.1124-6.3600i)+5*x*(-1+3.180i)+K=0 

        分別使實部、虛部為零,即:

        -22.6174x^3-38.16x^2+15.9x=0        ---(1)

        29.3372x^3-54.6852x^2-5x+K=0        ---(2)

        解方程(1)得到x1=0,x2=0.3458,x3=-2.0330,因已限定x>0,故取x=0.3458

        由方程(2)得K=54.6852x^2+5x-29.3362x^3=7.055

        同時也可以得到交點為(-0.3458,±1.0996j)

        算起來很麻煩,不過所幸方程(1)雖未三次方程,但可手解.不知道中間有沒有出什么問題,但思路應該是很明確的.

        樓主給分啊,算了我好久呢 

        如何求等阻尼線與根軌跡的交點 已知傳遞函數

        其他類似問題問題1:根軌跡那塊的問題 已知閉環傳函主導極點的阻尼比 讓求對應的K值(有的題給了w還會 這個不知咋弄)[數學科目]

        主導極點肯定是特征方程的根了,帶回特征方程,其中主導極點用阻尼比和w可以表示出來,是復數實部和虛部可以得到兩個方程,分別可以算出K和W,其實這個和算已經知道W都差不多.就是有時計算很煩,尤其是高階的

        問題2:自動控制原理中,如何求阻尼比與根軌跡的交點?[數學科目]

        不是很明白你的問題,

        如果你是知道了阻尼比,則可以畫出一條阻尼線,阻尼線如果與根軌跡有交點,且這個交點可視為主導極點的話,則可把交點設置出來,形式就是標準二階系統欠阻尼時的根的形式(阻尼已知,只有wn未知),接下來要關注系統有幾條根軌跡了,比如,系統是3階系統,那么每個參數K對應有3個特征根,前面提到的主導極點是一對,第3個極點可以假設出來,應該在實軸上的;把剛才設置的主導極點代入特征方程,與系統的特征方程比較可得到設置的參數!找個練習題,試試看,體會下!

        問題3:已知單位負反饋控制系統的開環傳遞函數G(s)=K/((S^2)*(S+1)),求其根軌跡解出極點為S1=S2=0,S3=-2,則漸近線角度分別為60°、180°、300°,交點為-1/3,分離點在-1/2,如果以上結果正確,那么根軌跡應與虛軸[數學科目]

        我用matlab畫的G(s)=K/((S^2)*(S+1))的根軌跡,交點應是原點

        閉環特征方程是s^3+s^2+k=0

        將S=jw代入上式,-jw^3-w^2+k=0

        實部方程k-w^2=0

        虛部方程w^3=0

        解得  w=0  k=0

        交點確實是原點

        如何求等阻尼線與根軌跡的交點 已知傳遞函數

        問題4:什么是臨界根軌跡,臨界根軌跡增益怎么求.開環傳遞函數:G(S)=K/[S(S+1)(S+2)][數學科目]

        一般在根軌跡里提到的臨界,指的是使得閉環系統臨界穩定的開環根軌跡增益,即存在共軛純虛極點的情況.

        換句話說,就是根軌跡與虛軸交點處的K*

        如果閉環極點在虛軸上,我們不妨令之:s=jw,其中w為一實數

        寫出系統的閉環特征方程:s^3+3s^2+2s+K=0

        因為s是閉環極點,因此一定滿足閉環特征方程,代入得:

        -j*w^3-3w^2+2jw+K=0

        這是一個復數方程,分別令其實部、虛部為零,得到:

        2jw-jw^3=0

        K-3w^2=0

        由上面的式子解得w=0(舍去)或w=±√2 (臨界穩定是有純虛閉環極點,等于零的極點不算)

        代入下面的式子,即K=3w^2=6

        注意此處的K指的是開環根軌跡增益K*,打字簡單、好看把那個星號略掉了

        問題5:利用根軌跡法,確定參數a的值,使得主導閉環極點的阻尼比為0.5系統為單位負反饋,開環傳遞函數為G(s)=10x(s+a)/(sx(s+8)x(s+1))[數學科目]

        先畫出以a為變量的參數根軌跡,然后做一條與負實軸夾角為60度的線,這條線和根軌跡的交點就是阻尼比為0.5的極點,注意題目中是主導極點,所以取里距離虛軸最近的交點就可以.把這個交點帶入根軌跡方程,求出a.這算是圖解法,手工制圖的話一定不會準.當然如果能夠用matlab軟件畫根軌跡,精度還是可以的.

        還有一種解析的方法,不用畫根軌跡,完全靠計算.阻尼比為0.5的極點一定在與負實軸夾角為60度的線上,所以可以設這個極點s=(-x,根號(3)x),x>0,極點是關于實軸對稱的,設這個第二象限的就可以了.然后把設出的這個極點s帶到根軌跡方程里,整理一下,然后實部虛部同時為0聯立方程,解出對應的a和x,因為有x>0的條件,所以有些根可能要舍去的,還有就是因為主導極點,所以取x最小的那個跟就可以了.這種方法計算比較麻煩,但是算出來的話一定是精確值.

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